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Langley's Problem>

  下の図のラングレーの問題:
∠A=20°、AB=ACの二等辺三角形
において、∠DBE=20°∠ECD=30°
   のときに∠DEBの大きさはいくら?」


  
という問題は1920年ごろに、E.M.ラングレーが
正18角形の研究中に作られた問題だそう
  です。ここでは、四角形DBCEを右端図のように改め
て四角形ABCDとして∠ADBはいくら?〜という形
で整角四角形と呼ばれる形式で考えていきます。


  
角度を求める問題だから簡単とは限りません。
上の問題では∠ADBと∠DAC以外は下図の
  ように決まりますが、

  この∠ADBと∠DACを求める
  ためには、なんらかの補助線を
  引かないと解決しません。
  このような整数の角度が与えら
  れる四角形の問題
  を「整角四角形の問題」といい、
  逆に整角四角形の問題を単に
  「ラングレーの問題」という向きも
  あります。しかし答えの
  ∠ADBの値が整数であるとは限
  りません。ちなみにそのラングレー
  の問題の解答。「整角四角形」と
  名づけられたのは、清宮俊雄先生
  です。また、安田亨共著「なっとく
  の高校数学」よれば、「ラングレー
  の問題」を「フランクリンの凧」とい
  っていた頃がありました。これは、
  山本矩一郎先生のアイデアだ
  そうです。

  
右の四角形ABCDにおいて
  ∠ABD = a   ∠DBC = b 
  ∠ACB = c   ∠DCA = d
  が与えられたとき、
  ∠ADB は何度ですか?
  というような問題です。

  それぞれの問題は対角線の
  交点は点Eとし、
  (a,b,c,d) の形で
  与えられ、 左右裏返しから、
  a≦d とします。
  上のラングレーの問題は
  (20,60、50、30)
  となります。

  問題(20,60、50、30)の答え
  はX=30ですが、 問題(20.60.
  50,40)となると、その答えは
  X=17.9…°となり、関数電卓で
  逆三角関数を使わないとムリです。



 


  整角四角形の解きやすい問題を上から順
  に並べています。
  それぞれの問題をクリックして解いてみてく
  ださい。よく「ラングレーの問題」とよばれる
  問題は、左の問題11(20,60,50,30)
  になります。

  【使う道具】

  1  三角形の合同

  2  たこ型(底辺の等しい二等辺三角形
     を2つあわせたもの)

  3  同一円周上(円周角が等しい、対角
     の和が180°)

  4  外心、内心、傍心

  5  正三角形、二等辺三角形と、その対
     称性

  6  三角形を折り返す

  7  等脚台形、平行四辺形の性質

  これら以外には角の二等分線などの比の
  移動、中点連結定理や正十八角形…等
  が考えられます。
  10°単位の全ての整角四角形(ラングレ
  ーの問題)は下にあります。
初めて解く問
  題は
定規と分度器を使って問題の図をき
  れいに書くことをお勧めします。

  (a,b,c,d)の形式から、答えを導くサイ
  トがあります。答えのみを知りたい方は活
  用してみてください。

      整角四角形問題

  ( 数学教材の部屋>JAVA APPLET
              >整角四角形問題
 )
 
知識1
知識2
知識3
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知識4
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ラングレーの全問題(10度単位)

(解きやすいほうの問題)

 @ [たこ形]
  (a,b,c,d)において、
  b+c=90 ,c=d、 
  ならば、四角形ABCDは
  「たこ形」になり、
      X=a となります。
  また、 b+c=90 ,a=b
  のときも「たこ形」で、
  このときはX=90−d となる。
  右の図ではX=20°
 A [円に内接する]
    a=b ならば、
    四角形ABCDは、「円に内接
    する四角形」で
        X=c となります。
    右の図ではX=40°
  
 B [外心1]
    AB=AC の
   二等辺三角形 ABC と
   ∠BAC=2∠BDC を満た
   せば、点Aは△BCDの外心
       a+b=c,
       b+d=90 ならば、
       X=aとなります。
   右の図では、X=30°
 C [外心2]
   △ABC と △BCD から、
   AC=BC,BC=CD 
   を満たすと、点Cは
     △ABD の外心
    c+2a+2b=180
    c+d+2b=180 ならば
        X=c/2 
   右の図では、X=40°

 D [傍心1]
    BDが∠ABCの二等分線、
    CDは∠ACBの外角の
    二等分線であれば、
    点Dは△ABC の傍心
          a=b 
      c+2d=180 ならば
        X=c/2
   右の図では、X=40°
   傍心については左上の
   フレームの「傍心」を参照
 E [傍心2]
   BCが△ACDの∠ACDの
   外角の二等分線になって
   ∠ACD=2∠ABDであれば
    点Bは △ACD の傍心
       2c+d=180
          d=2a ならば
       X=90−a−b
    右の図では、X=40

一般的な問題

それぞれの問題は(a,b,c,d) 
  a≦d で与えられて、
対角線の交点はEとします。


 上の「解きやすいほうの問題」@〜Eにあたる問題は省略し、
 解き方についてはそれがベストかどうかはわかりませんが概略
 で書いています(字数制限のため)。

 表の中にある「△番と同様」とあるのは
 問題(a,b,c,d)を△番に適用しますが適用で
 きないときは問題を(d,c,b,a)で適用してみ
 てください。
 また、「フレームの〜番」はこのページの左上の
 フレームにある問題と同様に解けます。


 当方での問題(a,b,c,d)の「類題」や「同様に解ける」は
 次のように調べています→「ラングレーの類題}

番号 (a,b,c,d) 答え 一つの解き方
(10,10,30,40) 20 BAのAの延長に∠ACF=30となるFをとると点Eは△FBCの内心、四角形FBCDは円に内接、正三角形FED…
(10,10,30,110) 10 △ABCの外心Fをとる。F,C,Dは同一直線上にあることをいう。点Aは△BFDの外心になる
(10,10,40,30) 30 BD間に∠BAF=20となる点Fをとると、四角形AFCDは円に内接。△ABFをBFで折り返しA→Gとすると△AFGは正三角形
(10,10,40,110) 10 AからBDに垂線を下ろしDCの交点をF、BC間に∠BAG=20となるGをとる。Gは△ABFの外心四角形ABFDはタコ形。
5 (10,10,50,50) 30 フレームの問題7と同様
(10,10,50,80) 20 ∠BDCの二等分線とBCの交点をF、Fは△ECDの傍心で△ABE≡△FBEで四角形ABFDはタコ形。
(10,10,60,40) 40 BAとCDの交点をF∠DCBの二等分線とBA,BDの交点をG,Hとする。Hは△FBCの内心、四角形FGHD,AGCDは円に内接。
(10,10,60,80) 20 BAとCDの交点をF、△AFCの内部に正三角形ACG、BD間に∠BCH=20となるH、3つの合同な三角形よりAC=CDが…
(10,10,100,30) 70 BD間に∠BAG=20となるG,BC間に∠BAF=40となるFをとる。Gは△ABFの内心。タコ形ABFC、円に内接するAGCD…
10 (10,10,100,50) 30 BD間に∠BAG=20、∠BAH=40となるG,Hをとり、AHとBCの交点をFとする。Gは△ABFの内心、円に内接するAHCD…
11 (10,10,110,30) 70 フレームの問題4と同様
12 (10,10,110,40) 40 △BCDをBDで折り返しC→Fとする。CAのAの延長上に∠CDG=100となるGをとる。正三角形FGD、FAはその対称軸
13 (10,10,120,20) 100 △BCDをBDで折り返してC→Fとする。正三角形FCDと二等辺三角形FCAで解決。
14 (10,10,120,40) 20 BC=CD、AB間に∠BCF=20のFをとる、BF=FC=CA、△BFCを辺CDに、Aの反対側に貼り付け、F→G、Gは△ACDの外心
15 (10,10,130,20) 100 AB間に∠DCF=30となるFをとると、点Dは△FBCの傍心で∠CFD=70、Eは△FCDの外心、Dは△AFEの外心
16 (10,10,130,30) 30 △ABCの外心Fをつくる。∠CFA=40、FC=CDより△FCDは底角40の二等辺三角形からF,A,Dは同一直線上
17 (10,20,20,40) 10 BAのAの延長上に∠BCG=80となるGをとる。Eは△GBCの外心。GDは正三角形GECの対称軸、四角形AEDGは円に内接。
18 (10,20,40,20) 30 △ABCをBCで折り返しA→Fとする。四角形ABFEは円に内接。BCとFEの交点をG。四角形EGCDは円に内接。AG=GD…
19 (10,20,40,40) 20 BD=BC,BDを一辺とする正三角形BDFをAとは反対側に作る。等脚台形ABFCから、△ABD≡△FDC
20 (10,20,40,80) 10 △ABCの外心Fを作る。四角形BFCDは等脚台形から、△AFB≡△ACDから、AB=AD
21 (10,20,50,30) 30 △ABCをBCで折り返す。A→Fとする。四角形DBFCは円に内接し、△FBD、△FADは二等辺三角形。
22 (10,20,50,50) 20 △ABCの外心をF。AB間に∠BFH=40のHをとり、AFとBDの交点G。Hは△GBFの外心△AHF≡△CGF、AGCDは…
23 (10,20,50,80) 10 △ABCをBCについて折り返す。A→Fとする。D,C,Fは同一直線上にあり、点Aは△DBFの外心になっている。
24 (10,20,70,30) 40 △ABCの外心Fをとり、BFとACの交点をG、AFとBDの交点をH、等脚台形HFCG、円に内接する四角形AHCDで解決
25 (10,20,70,40) 30 △ABCの外心FをとりBFとACの交点をG、AFとBDの交点をH、等脚台形HFCGとタコ形AHCDで解決。
26 (10,20,80,40) 30 △ABCの外心FはBD上にある。FC=CD、点Cは△AFDの外心になっている。
27 (10,20,80,50) 20 △ABCの外心FはBD上にある。△AFC派生三角形で点Aは△DFCの外心になっている。
28 (10,20,100,20) 70 BD間に∠BAF=10となるFをとり、△ABCの外心をG、△GBA≡△FBA、円に内接する四角形AFCDより解決
29 (10,20,100,30) 40 正三角形FBCをA側に作ると、ABはその対称軸、∠CFA=40、△DBCの外心FよりF,A,Dは同一直線上
30 (10,20,100,40) 20 フレームの問題9
31 (10,20,110,20) 70 △ABCをABで折り返す。C→Fとする。Fは△DBCの外心、タコ形AFBCと、円に内接する四角形AFBDで解決。
32 (10、20、110、30) 30 △ABCをABで折り返し、C→Fとする。タコ形AFBCより∠AFC=50、△FBDの外心Cから、F,A,Dは同一直線上。
33 (10,20,110,40) 10 △DBCの外心F、△ABCの外心Gを作る。タコ形FGCAよりAFは正三角形FBDの対称軸になる。AB=AD
34 (10,20,130,20) 30 △BCDの外心Fを作る。∠BFC=∠BACから円に内接する四角形FBCA。ADは正三角形FBDの対称軸。
35 (10,30,20,30) 10 △DBCの外心Fをとし、BFとACの交点をG、AGは正三角形DFCの対称軸から、∠AGB=∠AGD、四角形ABGDは…
36 (10,30,30,20) 20 ACのCの延長に∠DFA=10となるFをとり、△DBCの外心Gをとる。B,G,Fが同一直線上をいう、四角形ABFDは…
37 (10,30,30,50) 10 フレームの問題6と同様
38 (10,30,40,30) 20 △BCDをBCで折り返し、D→Fとする。四角形ABFCは円に内接する。△ABF△ADFは二等辺三角形…
39 (10,30,60,20) 40 △DBCの外心Fとし、BFとACの交点をHとする。四角形ABHDはタコ形。DHは正三角形DFCの対称軸
40 (10,30,60,40) 20 △BCDをBDで折り返すC→Fとする。BAとFDの交点をG。FBCGは円に内接。四角形GACDはタコ形をいう。
41 (10,30,70,30) 30 Cと反対側に正三角形ABFを作りFCとBDの交点をHとする。Bは△AFCの、Fは△ABHの外心、四角形AHCDは…
42 (10,30,70,40) 20 △EBCの外心Fとし、ED=EF=BF、△EFD≡△FBCから、AB=FD、平行四辺形ABFDとなる。
43 (10,30,80,30) 30 △DBCの外心F、ACは正三角形DFCの対称軸でAF=AD、タコ形でFA=AGより、Aは△FDGの外心、∠FDG=20…
44 (10,30,80,50) 10 AからCDに垂線を下ろしBCの交点をF。AB=BC、AC=CF、Dの反対側に正三角形AFGを作る。Aは△BGDの外心
45 (10,30,100,30) 20 △DBCの外心F。ACは正三角形FCDの対称軸。円に内接する四角形AFBCより、∠AFC=∠ADC=40
46 (10,30,110,20) 40 △BCDをBDで折り返し、C→Fとする。Fは△ABCの外心。∠FAB=∠FDBから円に内接する四角形AFBD
47 (10,30,110,30) 10 △ABCの外心Fを作る。∠AFC=80。タコ形FBCDから、∠CFD=80から、F,A,D,は同一直線上
48 (10,30,120,20) 30 △BCDの外心F、∠BFC=∠BACから、AFBCは円に内接。AF=ACから、ADは正三角形DFCの対称軸
49 (10,40,30,40) 10 BD=BC、正三角形FBCをD側に作る、CAはその対称軸。△EBA≡△DBAより、∠AEB=10
50 (10,40,50,20) 30 AB=AC、正三角形FBCをD側に作ると、AFはその対称軸。BC=BD、△AFB≡△ADB
51 (10,40,50,30) 20 正三角形ACFをD側に作る。CDはその対称軸でAD=DF。ACとBFの交点をG、タコ形DABGからAD=DG、Dは外心…
52 (10,40,80,30) 20 △ACDをACで折り返しD→Fとする。∠BAC=∠BFCよりFBCAは円に内接、∠AFC=∠ABC
53 (10,40,80,40) 110 正三角形ACFをD側に作る。BD〃CE。∠FBC=∠BFC=∠DBFから、等脚台形DBCF…AB=AD
54 (10,40,100,20) 30 DB間に∠BAF=10のFをとると等脚台形AFCD。△ABCの外心G。△GBA≡△FBAでBF=BC
55 (10,70,40,30) 10 DB=DC、B側に正三角形DCFを作る。BAとFDの交点をGとする。△DBG≡△FCB、BG=BC、GDCAは円に内接。
56 (10,70,50,20、) 20 BC=CD、A側に正三角形CDFを作る。△ABC≡△AFC≡△AFD
57 (10,70,50,30) 10 フレームの問題19
58 (10,70,60,20) 20 △BDCの外心をFはAC上、△ABCの内心G、GCは正三角形FBCの対称軸でD,F,Gは同一直線上、AGCDは円に…
59 (10,100,30,20) 10 △DBCの外心F。ACは正三角形FBCの対称軸。△ABF≡△AFD
60 (10,100,40,20) 10 △ABCの外心Fをとると、Bは△FECの外心∠FEC=∠FBC/2=30、∠FAE=∠FDEで四角形DAEFは円に内接
61 (20,10,20,120) 10 △BDCの外心Fを作る。ABは正三角形FBCの対称軸。∠AFD+∠ACD=180でFACDは円に内接する。
62 (20,10,40,60) 30 問題21番と同様
63 (20,10,40,100) 20 問題23番と同様
64 (20,10,40,120) 10 BC=CD、A側に正三角形BCFを作るとCは△FBDの外心。ABは△BCFの対称軸。四角形FACDは円に内接。
65 (20,10,50,50) 40 △ABCの外心F。BD〃FC。FよりABに垂線を下ろし、BDの交点G。∠GFC=∠FCDで等脚台形。△AFG≡△ACD
66 (20,10,50,80) 30 △BCDの外心Fとする。△BFA≡△FDC。△FCDの中に正三角形CDGを作る。△GCF≡△AFD
67 (20,10,50,100) 20 問題20番と同様
68 (20,10,70,70) 40 問題27番と同様
69 (20,10,70,80) 30 問題26番と同様
70 (20,10,80,50) 60 △BCDをBDで折り返す。C→Fとし、DFとABの交点G、△GBDの内心Hとする。△AGF≡△HGFでタコ形AGHD。
71 (20,10,80,60) 50 問題29番と同様
72 (20,10,100,40) 80 ∠ABEの二等分線とACの交点F、ADとの交点Hとする。Dは△FBCの傍心で∠DFC=60、△ABF≡△DBF
73 (20,10,100,50) 60 問題33番と同様
74 (20,10,100,60) 30 問題32番と同様
75 (20,10,110,30) 100 △BCDの外心FでABは△FBCの対称軸。∠FAC=∠FDCよりAFCDは円に内接
76 (20,10,110,40) 80 △BCDをBDで折り返す。C→Fとする。∠FEB=60よりFは△ABEの内心。△BFA≡△BFD
77 (20,10,110,50) 40 A側に正三角形BCFを作る。BC=CD,ABは△FBCの、ACは△FCDの対称軸
78 (20,10,130,30、) 40 Dの反対側に正三角形AEFを作る。AE=EB、FBCEは円に内接し、FC⊥BD、FB=FD、∠FDE=50、タコ形FEDA…
79 (20,20,30,50) 20 フレームの問題10
80 (20,20,30,100) 10 △DBCの外心Fを作る。ACは△FBCの対称軸。∠DFC=∠AFC=40、∠ACD=100で、四角形FACDは円に内接
81 (20,20,40,40) 30 フレームの問題7
82 (20,20,40,100) 10 問題6番と同様
83 (20,20,100,30) 80 フレームの問題4
84 (20,20,100,50) 20 問題53番と同様
85 (20,20,110,30) 80 △ABCの外心Fをとると、Cは△BFDの外心、△FBA≡△CBDでAB=BD
86 (20,20,110,40) 30 問題10番と同様
87 (20,30,20.60) 10 問題38番と同様
88 (20,30,30,40) 20 フレームの問題6
89 (20,30,30,80) 10 BAのAの延長上に∠BCF=70となるF、FCとBDの交点Gとする。FAEGは円に内接、Eは△FBCの、Gは△ADCの外心
90 (20,30,50,30) 40 D側に、正三角形ACFを作る。AB=AC、△ABFよりB,D,Fは同一直線上。DCは△ACFの対称軸
91 (20,30,50,80) 10 BD上に∠ACF=60となるFをとると、Aは△FBCの外心また、Fは△ACDの外心
92 (20,30,80,30) 60 AC=CB、A側に正三角形FBCを作る。BDはその対称軸∠FAC=∠FDCから、ADCFは円に内接する。
93 (20,30,80,60) 10 BC=AC、A側に正三角形FBCを作る。BDはその対称軸から、∠DFC=80、Cは△AFBの外心から、∠AFC=80
94 (20,30,100,30) 60 △ABCの外心F、またFはCのBDについての対称点。∠FAC=∠FDCより四角形AFCDは円に内接する。
95 (20,30,100,40) 20 問題46番と同様
96 (20,30,110,30) 40 問題45番と同様
97 (20,40、20、50) 10 問題19番と同様
98 (20,40,40,30) 30 フレームの問題14
99 (20,40,40,70) 10 CAの延長上に∠ABF=20となるFをとる。Dは△FBCの傍心また、Aは△FBDの内心
100 (20,40,80,30) 50 △BDCをBDで折り返し、C→Fとする。Aは△FBEの傍心で、∠FAB=30.ACは△FDCの対称軸
101 (20,40,80,50) 10 フレームの問題9と同様
102 (20,40,100,30) 30 BD間に∠DCF=10のFをとると、CE=EF=FA、△ECFをCF=FDから△AFDの中に貼り付ける。正三角形の頂点が外心
103 (20,50,40,60) 10 △ABCをACで折り返す。B→F。CFとBAの交点をG。GBCDは円に内接する。△GAFの外心Hで△HFG≡△DFG
104 (20,50,70,30) 40 問題52番と同様
105 (20,60,30,50) 10 フレームの問題17
106 (20,60,50,30) 30 フレームの問題11
107 (20,60,50,50) 10 BAの延長上に∠BDF=80となるFをとると等脚台形FBCD。△FBDの中に正三角形FDHを作る。△ABD≡△HDB
108 (20,60,70,30) 30 C側に正三角形ABFを作る。ACはその対称軸。DBCFは円に内接する。DF=FA=FBから、Fは△ABDの外心
109 (20,80,30,40) 10 △BCDの外心Fをとる。ACは正三角形FBCの対称軸。∠AFD=∠AFCより、△AFD≡△AFCでAC=AD
110 (20,80,40,30) 20 フレームの問題19と同様
111 (20,80,40,40) 10 問題56番と同様
112 (20,80,50,30) 20 △ABCの外心Fを作る。AFとDCの交点をG、タコ形FBCGの対称軸BGから、∠FBG=30、二等辺三角形ABG
113 (20,100,20,30) 10 Aを含む正三角形DFCを作る。DBとFCの交点M、∠FBM=∠ABF、∠AEF=∠FEBでFは△AEBの傍心。∠AFE=10
114 (20,100,40,30) 10 DC上に∠CBF=40となるFをとる。正三角形EBF、△EAFは底角10の二等辺三角形でDAEFは円に内接する。
115 (30,10,20,130) 10 △BCDの外心をF、FCとBAの交点をG。BGは正三角形FBDの対称軸。Aは△GCDの傍心から、∠GDA=30
116 (30,10,30,100) 20 △ABCの外心をF。BDは正三角形ABFの対称軸から∠ADB=∠BDF、BFCDは円に内接するので、∠BDF=20
117 (30,10,30,130) 10 BC=CD、A側に正三角形FCDを作る。△BCFから、B,A,Fは同一直線上。AF=FC=FDからFは△ACDの外心。
118 (30、10,40,110) 20 △BCDの外心をF、BAは正三角形FBDの対称軸。AFは△FBCと△ABCの対称軸。∠BFA=∠AFC=∠ADB
119 (30,10,60,80) 40 △BCDの外心Fを作る。FD間に∠FCG=60となるGをとると、△FBA≡△CFDでAF=CG=CD、正三角形CDHを作り…
120 (30,10,60,100) 20 BC=CD、A側に正三角形FCDを作る。二等辺三角形FBCから、B,A,Fは同一直線上AF=ACから、タコ形ACDF
121 (30,10,70,70) 50 △BDCの外心Fをとると、∠DFC=20。BA=BC=BFで△ABFより∠AFC=20 よってF,A,Dは同一直線上、
122 (30,10,70,80) 40 △BCDの外心をFとすると、∠CFD=20、ABは正三角形FBDの対称軸より、∠ADB=∠AFB
123 (30,10,80,50) 70 C側に正三角形ABFを作る。BFの中点M、AMとBCの交点Nとし、BD、AMはその対称軸。△DCN≡△DCF、Dは外心…
124 (30,10,80,70) 50 △BCDの外心Fとすると、BAは正三角形FBDの対称軸。CAとFDの交点G。四角形FBAGは円に内接する。
125 (30,10,100,50) 70 △BCDの外心Fをとる。BAは正三角形FBDの対称軸。四角形FBCAは円に内接する。
126 (30,10,110,40) 20 Eを含む正三角形ABFを作る。AE,BEはその対称軸。Eは重心から、∠DEF=∠CEFで、Fは△CEDの傍心になる。
127 (30,10,110,50) 70 フレームの問題19と同様
128 (30,10,120,40) 100 問題41番と同様
129 (30,20,20,100) 10 Aの反対側に正三角形DCFを作る。△ABCの外心Hとする。△BEC≡△BHC、△AHC≡△ECD、△DEF≡△CAD
130 (30,20,30,70) 20 △BCDの外心FはAC上BAのAの延長上に∠FGB=20のGをとると、Fは△GBDの外心、Gは△AFDの外心
131 (30,20,30,110) 10 問題116番と同様
132 (30,20,50,50) 40 AB=AC、C側に正三角形ABFを作る。BDはその対称軸で∠ADB=∠FDB、∠ACF=80、Dは△EFCの傍心。
133 (30,20,50,100) 10 問題118番と同様
134 (30,20,80,40) 70 BC=AC、Dを含む正三角形ACFを作る。△CBFから、B,D,Fは同一直線上。DC=DFからADは対称軸。
135 (30,20,80,70) 20 問題122番と同様
136 (30,20,100,40) 80 フレームの問題19と同様
137 (30,20,100,50) 40 問題100番と同様
138 (30,20,110,40) 70 問題125番と同様
139 (30,40,30,50) 20 問題35番と同様
140 (30,40,30,80) 10 △BCDの外心Fとする。ACは△FBCの対称軸。∠AFD=150、∠ABD=30で四角形ABDFは円に内接する。
141 (30,40,40,80) 10 フレームの問題12
142 (30,40,70,40) 50 問題132番と同様
143 (30,40,80,40) 50 問題100番と同様
144 (30,40,80,50) 20 問題52番と同様
145 (30,50,30,70) 70 問題35番と同様
146 (30,50,40,70) 10 BE間に∠EAF=20 のFをとると、AFCDは円に内接する。△ABEの外心Gをとる、AGBCは円に内接。△AFC≡△GFC…
147 (30,50,60,40) 40 △DBCの外心Fとする。DFとABの交点Gとする。タコ形GBCFと円に内接する四角形AGCDで解決
148 (30,50,70,40) 40 フレームの問題16
149 (30,70,20,50) 10 BD=DC、Aを含む正三角形FBDを作ると、ABは対称軸になる。FCとABの交点Gとすると.DGACは円に内接する。
150 (30,70,30,40) 20 問題90番と同様
151 (30,70,50,50) 10 フレームの問題6と同様
152 (30,70,60,40) 20 △DBCの外心F、FCとBDの交点G、DFとACの交点Hとする。Gは△HDCの内心。ABCFは円に内接。△AFH≡△GFH
153 (30,80,30,50) 10 問題90番と同様
154 (30,80,40,40) 20 フレームの問題4と同様
155 (30,100,20,40) 10 Eを含む正三角形ABFを作る。ACとBDはこの対称軸になっている。Fは△DECの内心
156 (30,100,30,40) 10 △ABCの外心FはDC上で、BDは正三角形ABFの対称軸
157 (40,10,30,110) 20 問題80番と同様
158 (40,10,50,100) 30 AB=AC、C側に正三角形ABFを作る。△AFCより、F,C,Dは同一直線上。BF=FD=AF
159 (40,10,50,110) 20 BC=CD,A側に正三角形FCDを作る。ACを対称軸にするタコ形ABCFとタコ形ACDFで解決。
160 (40,10,80,60) 70 AC=BC、A側に正三角形FBCを作る。∠BFA=∠BCDで△FBA≡△CBD、AB=DB
161 (40,10,80,70) 60 △ADCをACで折り返す。D→Fとする。AC=CBから、△FBCを△ACFの中にはりつけるF→Gとする。正三角形FCG…
162 (40,10,100,60) 70 問題85番と同様
163 (40,20,20,110) 10 △BCDの外心Fとすると、BDとFCの交点Gとすると、△FBC,△FAGは正三角形。AG=GF=GD
164 (40,20,40,70) 30 △BCDの外心F。C側に正三角形BFGを作る。△AFG≡△AFD。AB=BFから、Bは△AFGの外心
165 (40,20,40,110) 10 △BCDの外心をF、BAとFCの交点をGとする。FG=BGから、GDは△FBDの対称軸。タコ形GACD〜解決。
166 (40,20,80,50) 70 問題72番と同様
167 (40,20,80,70) 30 △BCDの外心をFとする。二等辺三角形AFBから、ADは正三角形FBDの対称軸
168 (40,20,100,50) 70 △BCDの外心F、FBCAは円に内接する。FB〃ACから等脚台形FBCA、△AFD≡△CBD
169 (40,30,30,70) 20 フレームの問題18
170 (40,30,30,100) 10 △BCDの外心Fをとる。△FBCは頂角100の二等辺三角形から、B,A,Fは同一直線上。ADはタコ形FACDの対称軸
171 (40,30,40,60) 30 問題92番と同様
172 (40,30,70,70) 20 問題91番と同様
173 (40,30,80,50) 60 問題59番と同様
174 (40,30,80,60) 30 問題94番と同様
175 (40,60,30,70) 10 △ABCをACで折り返しB→F、CFとBAの交点Gとする。GBCDは円に内接。GF=GD=FD=GA
176 (40,60,50,50) 30 問題13番と同様
177 (40,70,20,60) 10 ED間に∠AFE=20となるFをとる。FABCは円に内接する。FC=CA、△DFCの外心Gとする。△DFG≡△FAC
178 (40,70,30,50) 20 問題109番と同様
179 (40,70,40,60) 10 △BCDの外心F。BよりACに垂線を下ろしFCとの交点Gとする。ABCGはタコ形で、ABGFもタコ形。A,F,Dは同一直線上。
180 (40,70,50,50) 20 ∠AEBの二等分線とCB,CFとの交点G,Fとする。△EGC≡△EDC、CAは△CGDの対称軸。Gは△AEBの傍心
181 (50,20,40,80) 30 CA=CB、Aの反対側に正三角形BCFを作る。EBFCは円に内接する。△AEF≡△DEF
182 (50,20,70,80) 30 問題158番と同様
183 (50,30,30,80) 20 A側に正三角形BCFを作る。AC,BDはその対称軸。∠AFB=20、∠DFC=50、FABDは円に内接する。
184 (50,30,40,70) 30 △DBCの外心F。CD=DE=DF=FC、ABEFは円に内接。△AFD≡△AFC
185 (50,30,60,80) 20 問題170番と同様
186 (50,30,70,70) 30 問題13番と同様
187 (60,20,30,100) 20 問題140番と同様
188 (60,20,50,80) 40 問題121番と同様
189 (60,20,50,100) 20 △BCDの外心F、BDとFCの交点Gとする。AB=BC=BG。△ABGと△FBDは正三角形でその対称性から解決
190 (60,20,70,80) 40 △ABCをACで折り返す。B→F、△ABCの外心Gとする。正三角形GBCから、△GAC≡△FDCで、AC=CD
191 (60,40,30,80) 20 フレームの問題20と同様
192 (60,40,50,80) 20 △BCDをBDで折り返し、C→F、DFとCBの交点G、FD間に∠DCH=20となるH。AGBFは円に内接、Aは△GHCの外心
193 (70,10,40,110) 30 BD上に∠BAF=40のF、D側に正三角形AFGを作る。AB=AG。ABCGは円に内接。△ABF≡△GFC。AFCDは円に…
194 (70,10,50,100) 40 Aの反対側に正三角形BCFを作る。BDは△ABFの対称軸、∠ADB=∠BDF。△BDC≡△FDC
195 (70,10,50,110) 30 BE間に∠AFB=70となるFをとると、AF=AB=BC=CDで2角夾辺から、△AFE≡△DCE。AE=ED
196 (70,10,60,100) 40 A側に正三角形CDFを作る。∠BFC=40。等脚台形ABCFより、AF=BC=FD、∠FDA=10
197 (70,30,20,110) 10 BD上に∠CAF=20のF、BC上に∠BAG=20のGをとる。ABGFはタコ形。Fは△AGCの内心。AFCDは円に内接する。
198 (70,30,30,110) 10 A側に正三角形FBCを作る。AC,BDはその対称軸。∠AFBと∠BFCと∠CFDから、A,F,Dは同一直線上
199 (70,30,50,80) 40 問題109番と同様
200 (70,30,60,80) 40 △BCDの外心F、FBとACの交点G。ABCFは等脚台形でAC=BF=FC=CD。△ACDで解決
201 (70,40,20,100) 10 △ABCの外心F、AF=FC、△DFCをAFの上部に貼り付けD→Gとする。正三角形GFDから、Gは△ADFの外心
202 (70,40,30,100) 10 BE間に∠EAF=10となるF、FよりABに垂線FHを下ろし、さらにCBとの交点をGとする、Fは△AGCの外心、AFCDは円に…
203 (70,40,40,80) 30 問題72番と同様
204 (70,40,50,80) 30 BD上に∠BFC=20となるFをとり、ABCFは円に内接。FDの上部に△ACFを貼り付け。A→Gとする。Gは△ADFの外心
205 (80,20,30,110) 20 問題196番と同様
206 (80,20,40,100) 30 問題195番と同様
207 (80,20,40,110) 20 問題194番と同様
208 (80,20,50,100) 30 問題72番と同様
209 (80,30,30,100) 20 問題198番と同様
210 (80,30,40,100) 20 問題109番と同様
211 (100,10,30,130) 20 BC=CD、A側に正三角形CDFを作る。ABCFは円に内接し、AF=ACから、ACDFはタコ形
212 (100,10,40,120) 30 BC=CD、△ABCの外心Fとする。△AFB、△CFDから、A,F,Dは同一直線上
213 (100,20,20,130) 10 BD間に∠BCF=120のFをとると、対称性から、等脚台形ABCF。Aの反対側に正三角形FCGを作ると平行四辺形ABGF。
214 (100,20,40,110) 30 △BCDの外心Fを作る。四角形ABCFは円に内接し、AB=AF。四角形ABDFはタコ形。
215 (100,30,20,120) 10 フレームの問題20
216 (100,30,30,110) 20 △ABCの外心F、BD間に∠DCG=10のGをとる。△BCGの外心はF、△FCDの外心はGとなる…A,F,Dは同一直線上

 

10月末(2005年)にはラングレー全問のページはできあがっていたのに突然パソコン画面が真っ暗画面に白字の文字が!… …ハードディスクが壊れちゃいました。ファイルを返してくれーっ!……11月に復旧し、やっとまたこのページが完成しました。チカレタビィー