問題 11 の答え

                     

 

[解答]
  
△ABCは
 AB=BCの二等辺三角形
 ここで、∠FBC=20°
   となるDC上の点Fをとる
 ∠BCF=∠BFC=80 より
      BC=BF
  △ABFは頂角60°の
    二等辺三角形から
     正三角形ABFになり、
      BF=FA
 ∠FBD=∠FDB=40 より
      BF=FD  
 以上からFA=FDで
  △AFDは二等辺三角形
  ∠AFD=40°,∠ADF=70°
  ∠ADB=70−40=30


            
 答え 30°

以前「なぜ、正三角形を作るとうまく解けるんですか?」という質問があっ
たのですが、「正三角形はどこから見ても二等辺三角形だから…」という
わけのわからない返事をしてしまいました。今でも、自分としていい
返事をすることができません。これを解決するためには星の入った
ボールを7つ集めるしかないか…その前にドラゴンレーダーを入手…

[別の解答]
  
正三角形ABFを作ると。
  
AB=BC=BF から、
   B は△AFCの外心になり、
  BDとFCの交点をGとすると、
  △FBGは二等辺三角形より、
  FB=FG=FAから、
   F は△ABGの外心になる。
  ∠AGD=∠ABG+∠BAG
      =20+10=30
  ∠AGD=∠ACD が成り立つ。
  四角形AGCDは円に内接する。
  ∠ADB=∠ACG=30

                  
             答え 30°
 


                   [類題1]

                     (30,10,120,40)  答え 30°

                   [類題2]
 

                      (10,30,70,30)   答え 30°    
                                            

                   [類題3]
               
(20,80,50,30)  答え 20°    
                                   

           

  「ラングレーの問題」をグーグルなどで検索するといろいろ出てきます。
上の解答以外にも別の補助線を引いたり、高校で習う「三角比」を用いる証明もあります。
上の図で辺BAと辺CDの延長線の交点をPとした頂角20°の二等辺三角形 PAB
を問題の出発点とするラングレーの問題も多くあります。中でも技術系サラリー
マンの交差点の5年考えて解けなかった問題においてはこの問題11番
(20,60,50,30)をいろいろな解法の紹介や、解けなかった方の感想があります。

「インカの幾何学」というサイトに「ラングレーの問題」をアニメ(フラッシュ)で
解説しているところがあります。証明の後半は方程式で解いていますが、ただ個人的に
は、このアニメーションがわかり易いとは思えない。