傍接円、傍心について


[中学生へ]三角形の外角の二等分線の交点を「傍心ほ(ぼ)うしん」といい、傍心は
全部で3つあり、下の図で△ABCの傍心は点P、Q、R の3つです。1990年ごろの中
学の教科書にも傍心という用語は出てきませんが、傍接円と接線の長さ〜が高校入
試に出題される事が以前はよくありました。現在は「接線の長さ」などは高校の数学A
に移行して中学の平面幾何はヒジョーにサミシイ所があります。

△ABCの辺の延長線をいれて、外角の2等分線の交点は上のP、Q、Rの3っつある。これらを中心に円を書くと…


 
 
3つの辺(延長線)に接する円が3っつ書けて、これらの円を「傍接円」といい、中心P,Q,Rを「傍心」といいます。


  [定理3]
 三角形の2つの外角の二等分線と他の内角の二等分
 線は1点で交わる。逆に、内角の二等分線と他の外角
  の二等分線の交点は、残りの外角の二等分線になる。


      角の二等分線の交点は2直線からの距離は等しい〜という使い方をして、
      線分DBは、∠ABCの二等分をめざします。この定理自身は高校の数学A
      の教科書(数研その他)の問題にあります。

[証明]
 
 ∠Aと∠Cの外角の二等
 分線の交点をDとしてDより
 直線BA,直線AC、直線BC
 に垂直な線を下ろし図のよ
 うにE、F、Gとすると斜辺と
 1つの鋭角が等しいから
     △AED≡△AFD、
     △FCD≡△GCD 
 以上から、DE=DF=DG 
 ここで斜辺と他の1辺から
    △EBD≡△GBD 
    ∠EBD=∠GBD
 また、逆も同様にいえます。

[傍心の角度の関係]

右の問題は
  ∠A=64°の△ABCにおいて、
  ∠Bの二等分線と∠Cの外角の
  二等分線の交点をDとする。
  ∠BDCの大きさを求めなさい。
    〜という問題は
  中2の教科書用ワーク等によく
  ある問題です。解いたことのない
  人は一度解いてみましょう。
  もちろん、「傍心」は知らない
  ということで解くわけですが…
  まずは外角の関係から、
  2×から2○の差は64で…

傍心Dと△ABCの内角の和から
 2b+(180−2a)+
     (180−2c)=180
    より、 a+c=90+b
 ∠ADC=180−(a+c)
     =90−b よって

 
∠ADC=90−∠ABC/2
   
 また、
    △ABC の外角から、
    ∠ACB=2a−2b
    △ABDの外角から、
   ∠ADB=a−b よって

  
∠ADB=∠ACB/2
[例題1]
 
問題(30,30,20,80)

    
 解答
  △ABC の∠ABCの内角の
  二等分線と、∠ACBの外角の
     二等分線の交点Dは
     △ABCの傍心 よって、
      ∠ADB=∠ACB/2
            =10°


          
 答え 10°
[例題2]
 
問題(40,20,50,80)

    
 略
  △ACD の∠ACDの外角の
  二等分線がBCである。
     ∠ABD=∠ACD/2
      このとき、点Bは△ACD
     の傍心になる。
    BDは∠ADCの二等分線
    ∠ADB=∠BDC=30°


          
 答え 30°
  詳しくは下に証明
[例題2の補足]
 
△点Bより直線DC,AC,DAに
   垂線BF,BG,BH をおろす
   △BFC ≡ △BGC
   △BGA ≡ △BHA
   がわかり、このことより
   △BFD ≡ △BHD
   ∠ADB=∠BDC 
   BDは∠ADCの二等分線

[補足の補足]
 傍心で解ける問題は、垂線や外心で
 解ける問題も多くあるみたいです。
 この問題(40,20,50,80)は、
 △ABCの外心O をとると、
 四角形AOCDは円に内接する
 四角形になって解決します。
 ラングレーのページの「問題13」を
 参照してみてください。

   ここの定理はラングレーB型のための定理です。

[定理7]

       四角形ABCDにおいて、∠ABD=∠DBC=a 、∠BDC=e 
 ∠ADB=f のとき、a+e+f=90 を満たすならば、
点Dは△ABCの傍心である。




       




 [定理7]のための補題 
    

   四角形ABCDにおいて、
  ∠ABD=a 、∠BDC=e 
  ∠ADB=f のとき、
  a+e+f=90 を満たすならば、
   △ABDの外心は   
       直線DC上にある。
 上記補題の証明 

  △ABDの外心を点Oとすると、
 円周角と中心角の関係から、
 ∠AOB=2f 、∠AOD=2a 
 △OBDは二等辺三角形より、 
 ∠ODB=(180−(2a+2f))/2 
  a+f=90ーe から  
 ∠ODB=(180−(180−2e))/2 
      =e                 
 よって、O、C、Dは同一直線上 
 △ABDの外心Oは     
       直線DC上にある。 
 [定理7]の証明
 BA,BCの延長上にF,Hをとる。
 上の補題から a+e+f=90 
 より△BDCの外心Oは
        直線AD上にあり、
 その中心角∠COD=2∠CBD
              =2a
     ∠ABC=2a から、
 4点 O、B,C、Aは同一円周上で
 ∠BOC=2∠BDC
      =∠BAC=2e
 △ABDの内角より、
 ∠DAC=180−a−2e−f
      =180−(a+e+f)−e
      =180−90−e=90−e
 ∠FAD=180ー2eー(90−e)
      =90−e
 ADは外角FACの二等分線
 同様にして
 CDも外角ACHの二等分線
 以上から、点Dは△ABCの傍心
 (f<aのとき、外心Oが点Aより右側の時も同様にいけます。)


[例題3]

  問題(20,40,30,30)

[例題3]の答え
  ∠ADB=∠CDB
  20+40+30=90 
  から、 定理7より、
    点Bは△ADCの傍心
  ∠ACD=2∠ABD=40
  △BCDの内角より
  ∠ACB=70

        答え 70°
  

   定理7の証明から、
   右の図では、
   ∠ACB=90−∠ABD
   の関係があります。