補助線の練習その1 正方形と正三角形  

 

次の例題は中学2年の図形の二等辺三角形のところに出てくる問題です。

 [例題1,2]
 
それぞれの四角形ABCDは正方形で、
 △PBC、△QADは正三角形として、
∠X,∠Yをそれぞれ求めなさい。




         

  [例題1の解答] 
       正方形ABCDより AB=BC、正三角形PBCより BC=PB
       よって、AB=PB また、∠ABP=∠ABC−∠PBC
                       =90 ー 60 = 30
       二等辺三角形ABPより∠APB=75
       △PCDも同様にして、∠DPC=75
       ∠APD=360−(75+75+60)=150
                            (答え)∠APD=150°

  [例題2の解答]
        正方形ABCDより AB=AD、正三角形QADより AD=AQ
        よって、AB=AQ また、∠QAB=∠DAB+∠DAQ
                        =90 + 60 = 150
        二等辺三角形ABQより ∠AQB=15
        △DCQも同様にして、∠DQC=15
        ∠BQC=60−(15+15)=30
                            
(答え)∠BQC=30°

 以上の問題は中学2年生の教科書のワークあたりにはよくあります。
これに対して、下の問題は角度の問題の難問かもしれません。
もちろん、中2の教科書や教科書のワーク等にはありません。

最近(2014年)GooglePlayの数学クイズ なん度?というアプリで
ファイナルステージの最終問題の20番についての問い合わせが
あったので、この20番については下↓(アプリの問題とは図が
上下が逆)の【問題1】を参考にしてみて下さい。もしファイナル
ステージが終わられている方はその下の[問題2]以降の問題に
挑戦してみては?いちおうの解答も2通りほどは付けています。

[問題1]


  正方形ABCDの中に
  ADを底辺とし、
  ∠APD=150 の
  二等辺三角形APD
  があるとき
  ∠BPCは?



      [問題1の答え]
.      上↑の問題はコークスター「幾何学再入門」(1970年)にあった問題です。

[問題2]


  正方形ABCDのBCを
  底辺とし、図のような
  ∠BQC=30 の
  二等辺三角形BQCが
  あるとき
  ∠AQDは?



      [問題2の答え]

補助線の練習…形をあてはめてみる


      下の《図A》について
このページのはじめの例題1,2をもとにすると、下のような角度の関係があります。この図を以下《図A》と呼ぶことにします。このことを知っているということを前提にすると下の問題の補助線は引きやすくなります。ただ、その補助線がベストとは限らないかもしれませんが補助線の練習になると思います。図には入れていませんが、正方形の対角線も書き加えるといいと思います。 


[例題]
   ∠Aを直角とする
  直角二等辺三角形
  ABCにおいて点Dは 
  ∠ABD=30
  AB=AC=BD
  をみたすとき、
  ∠DCBは?
[例題の答え]
  右図のような
  正方形CABE
  を作る。∠DBE=
  90−30=60
  △DBEは正三角形
  DE=BE=ECより
  △DCEは頂角30の
  二等辺三角形より
  ∠DCB=
    ∠DCEー∠BCE
    =75−45=30


   次の問題はすべて、上の《図A》をもとに作られています。それでは、やってみましょう!
   なかには、《図A》の正方形や正三角形をあてはめない方がよいのもあります。

[問題3]
  BA=AD=DC
  ∠BAD=150
  ∠ADC=90
  ∠ABCは?

    
   [問題3の解答]
[問題4]
  ∠BAC=45
  ∠ACB=45
  ∠DAC=30
  ∠ACD=105
  ∠ADBは?

  
    [問題4の解答]
  
  問題3の図と同じ形です。
[問題5]
  ∠DBC=
  ∠DCA=
  ∠DAC=15
  ∠DCB=30
  ∠BADは?



     [問題5の解答]
[問題6]
  ∠BAC=45
  ∠CAD=30
  ∠BDC=15
  ∠ADB=30
  ∠ACBは?



     [問題6の解答]
[問題7]
  ∠ABD=15
  ∠DBC=45
  ∠ADB=30
  ∠BDC=45
  ∠BACは?
 
     
      
     [問題7の答え]
[問題8]
  ∠DAC=15
  ∠DBC=15
  ∠DCB=30
  ∠DAB=75
  ∠ABDは?
 


       
[問題8の答え]
[問題9]
  ∠DBC=45
  ∠ACB=15
  ∠ACD=30
  ∠ADB=45
  ∠ABDは?

  この問題は
  「算数オリンピックに挑
 戦95〜99」ブルーバッ
 クスにあります。


      [問題9の答え]
[問題10]
  ∠BDC=90、
  ∠DBC=45
  ∠ADB=45
  CB=CA
  を満たすとき、
  ∠ACBは?
  清宮先生のモノグラフ「幾何学」
  「理系への数学」によると
  、この形の問題は古くからある
  難問だそうです。


     [問題10の答え]
[問題11]
  ∠ABD=30
  ∠DBC=45
  ∠ACB=30
  ∠DCA=15
  ∠ADBは?


     [問題11の答え]  
[問題12]
   ∠ABD=30
  ∠DBC=45
  ∠ADB=45
  ∠BDC=90
  ∠ACBは?

  
     [問題12の答え]
  
[問題13]
   ∠ABD=30
  ∠ACB=30
  ∠ADB=45
  ∠DCA=15
  ∠BDCは?


     [問題13の答え]
  
  
ところで、分度器と定規と
コンパスを持っていたとして、
右のような角度が与えられた
とき、右図を描け、といったら
どのように描きますか?(もち
ろん、Xの値はわからないとして)
[問題14]

  ∠ABM=30
  ∠ACM=15
  BM=MC
  ∠AMBは?


      [問題14の答え]
[問題15]
   ∠CAM=30
  ∠ACM=15
  BM=MC
  ∠ABMは?

  この問題を2つあわせた
  平行四辺形として
  「数学パズルランド
  (ブルーバックス)」
  にあります。


      [問題15の答え]
[問題16]
  ∠AMB=45
  ∠B=2∠C 
  BM=MC
  ∠Cは?

 この問題は清宮先生の
 「エレガントな問題をつくる」に
  あります。



       [問題16の答え]
[問題17]
  ∠AMB=45
  ∠B=MAC
  BM=MC
  ∠Bは?

         
    [問題17の答え]
 
[問題18]
  ∠MAC=2∠C
  ∠B=30
  BM=MC
  ∠Cは?

     [問題18の答え]


  
[問題19]
   ∠MAC=2∠C
   ∠ABM=2∠B
   BM=MC
   ∠Cは?


   答え省略
[問題20]
   ∠B=30
   ∠C=15
   ∠AMB=45
   のとき、BM=MC
   を証明しなさい。

 図Aに一致するから答え明らか
 はナシ〜ww
[問題21]
 ∠ABM=105
  ∠ACM=30
   BM=MC
  ∠AMBは?
 
       [問題21の答え]
 [問題22] 
∠BAM=2∠CAM
  ∠ACB=30
    BM=MC
   ∠CAMは?

 (問題22)も(問題21)も
図形の移動をすれば(問題14
〜20)の図と同じになりますし、
2つの図形を合わせた四角形は
円に内接する四角形の関係にも
なっています。
答えは X=15 それと 30