問題１４の答え

[解答その１]  BAの延長線上に点Cより 　垂線CDを下ろし、　 　直角三角形の性質↓ 「直角三角形の斜辺の中点は 三角形の３つの頂点から等しい 　距離にある。」　より　 　　BM＝CM＝DM　 　これと∠DCM＝６０　から 　△DCMは正三角形、∠DMC＝６０　 　∠DAC＝∠DCA＝４５　より 　△DACは直角二等辺三角形 　よって、DA=DM ∠DMA＝（１８０−３０）÷２＝７５ 　∠AMC＝６０＋７５＝１３５ 　∠AMB＝４５ 　 　　　　　答え　X＝４５° 上の証明の後半は点Dは△AMCの外心から、∠CAM＝∠CDM÷２＝３０でもいいと思います。また前半の「直角三角形の性質」は中２の教科書で「長方形の対角線の性質」にあります。

［解答その２］ 　BCを斜辺とする 　直角二等辺三角形BCDを作る。 　∠BDC（優角）＝２７０＝２×∠BAC 　より点Dは△ABCの外心で 　∠ADC＝２×∠ABC＝６０　より 　△ADCは正三角形 　△MDCは直角二等辺三角形より 　直線AMは正三角形ADCの対称軸 　∠MAC＝∠MAD＝３０ 　∠AMB＝∠MAC＋∠ACM 　　　　　　＝３０＋１５＝４５ 　　　　　答え　X＝４５°

［解答その３］  AよりBCに垂線AHを下ろし、ACの 　中点をNとする。中点連結定理より、 　　　　　MN〃AB、MN＝AB／２ 　∠NMC＝∠B＝３０ 　△AHCは直角三角形でNは 　斜辺の中点より、NH＝NCなので 　∠NHC＝∠NCH＝１５ 　∠HNM＝∠NMC−NHC＝１５ 　△NHMは二等辺三角形で、 　ＨＭ＝ＭＮ、ＨＭ＝ＭＮ＝AB／２　…（ア） 　△ABHは３０°をもつ直角三角形から 　　　　　　　　　AH＝AB／２　　　　　…（イ） 　（ア）、（イ）より　ＡＨ＝ＨＭ　なので 　　△ＡＨＣは直角二等辺三角形 　　　　　　　∠ＡＭＨ＝４５ 　　　　　　　　　　答え　X＝４５° 「中点連結定理」は中３の２学期に習います。 　　この［解答その３］は次の「定理５」をもとにしています。