「中学生にもできる大学入試」とググルといろんなサイトがでてきます。当方のサイトとしては
大学入試の平面幾何の分野で、中学生でもイケるんとチャウという問題をそのまま、または少
し改変して出題していきたいと思います。尚、下の文にある中学の教科書とは公立の中学で
現在使用されているフツーの教科書をさしています。そういえば私の頃の中学の教科書には
sin45°とかcos60°などがありました…おっと世代がばれる
| 問題１ | AB＝ACの二等辺三角形の 辺ABの中点をMとし、辺ABをBの ほうへ延長した点Nは AN：NB＝２：１を満たす。 このとき ∠BCM＝∠BCN を証明せよ。 （２００８年京都大理系の問題です） この問題は中３の２学期の範囲でいけます。 １つの解答 |
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| 問題２ | △ABCにおいてAB＝２、AC＝１とする ∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。 AD＝BDとなるとき、∠Bの大きさを求めよ。 （２０１０年京大文系の問題です。） この問題は中２の範囲でいけます。 元の問題は△ABCの面積を問う問題でしたが、 ∠Bの大きさとすると中２の２学期の範囲でも OKになる。 問題１も問題２もどのような補助線を引くかに 関わってきますが… 1つの解答 |
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| 問題３ | 点Oを中心とする正十角形において、 A、Bを隣接する２つの頂点とする。 線分OB上にOP×OP＝OB×PB を満たす点P をとるとき、OP＝ABが成立することを示せ。 （これも２０１０年京大文系の問題です。） この問題は中３の範囲でいけます。 この形は中２の教科書の二等辺三角形に出て くる形ですが、相似や解の公式は中３なので、 この問題は中３の２学期の範囲 OB＝１とすればOPの長さが確定するので、 対角線の長さが１の正五角形の一辺を 求めるとか… |
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| 問題４ | 鋭角三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAの 中点をL、M、Nとする。頂点Aから辺BCに 下ろした垂線をAHとする。 （１） ∠LHN＝∠A を証明せよ。 （２） ４点L、M、H、Nは同一円周上 にあることを証明せよ。 （２０１０年鳴門教育大の問題です） この問題は中３の２学期の範囲いけます。 もとの問題には鋭角三角形の条件がないので、 もとの問題はいくつかのパターンに分け て考えます。 |
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| 問題５ | 平面上に円Sと６点A、B、C、D、E、F がある。 A、B、CはS上の異なる３点で、この順番で 反時計回りに並んでいる。線分ABをAの側に 延長した半直線上に点Dがある。∠CADを 二等分する直線Lと円Sは異なる２点で交わり、 それらはAとEである。さらに、EはCを含まないS上の 弧AB上にある。また、Lは線分BCをCの側に 延長した半直線と交わり、その交点がFである。 このとき、次の問いに答えよ。 （１）題意にしたがって、円S、 △ABCおよび点D,E,Fを描け。 （２）△ACFと△AEBが相似であることを証明せよ。 （３）AB×EF＝EB×BFとなることを証明せよ。 （２０１０年高知大の問題です。） （１）の用語は中１でも習うので中１の範囲イイッス 残り（２）（３）は相似なので中３の２学期の範囲 |
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| 問題６ | △ABCにおいて、∠A＝７５°、∠B＝６０°、 AB＝１ とする。頂点Aを通り辺BCに 垂直な直線と三点A,B,Cを通る円との交点をPとする。 このとき、線分APの長さを求めよ。 （２０１０年鹿児島大の問題です。） 三平方、円周角を用いるので、 中３の２学期の範囲でいけます。 この問題は補助線とかいらなくて、 中３の教科書レベルで十分です。むしろ これを作った人が中学の教科書まで見ていない ことの証明だったりして… |
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| 問題７ | △ABCはAB＝ACの二等辺三角形とする。 DをBC上の点とし、ADの延長線が△ABCの ３つの頂点を通る円と交わる点をPとする。 次の問いに答えよ （１） AP＝BP＋CPであるとき、 △ABCは正三角形であることを示せ。 （２） １／BP＋１／CP＝１／DP であるとき △ABCは正三角形であることを示せ。 （２０１１年旭川医科大学の問題です。） いずれも中３の二学期の範囲でいけます。 （１）の逆の問題がBASIC＋α」の 中の「問１９」にあります。 （２）相似な三角形がいっぱいあって 目移りがするかもしれませんが どれかの相似でいけますた…。 中学の時にこの（１）（２）の逆の問題をしていれば、 だいぶ楽になるけど、教科書どうりの受験勉強で はきつい。しかし、医科大を受けるシトだったら だいじょうぶカナ？ |
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| 問題８ | △ABCの辺BCの中点をDとする。点B、Cから 対辺またはその延長線上に垂線BF、CEを下ろす。 △DEFが正三角形となるとき、∠Aの大きさを 次の場合について求めよ。 （１）△ABCが鋭角三角形 （３つの角が鋭角の三角形のとき） （２）∠Aが鈍角の三角形のとき （２０１１年佐賀大学の問題です。元の問題には （１）（２）はなく場合を分類する必要がありました。） いずれも中３の２学期の後半の範囲 |
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