整角三角形B型

   三角形ABCの内部の点Dは
   ∠BAD=a 、∠ABD=b
   ∠DBC=c、∠DCB=d
   を満たすとき
   ∠ACDの大きさを求める問題です。
   それぞれの問題は
   (a,b,c,d)で与えられ、
   与えられる角度は10度単位です。

 
解きやすいほうの問題

@ [頂角Aの二等辺三角形]
  
 点Aを頂角とする二等辺三角形
 で直線AD はその対称軸にな
 るときで、一般に,
 c=d,a+b+c=90,のとき 
      x=b となる。
 ↓の(40,20,30,30)では
        X=20
  下の「一般的な問題」では、
  30<40 より
  (30,30,20,40)の問題
  になります。

 

A [頂角Bの二等辺三角形]

 点Bを頂角とする二等辺三角形で
 直線BD はその対称軸になるときで
 一般に b=c,a=d,のとき
     X=90−c−d となる。
  ↓の(30,20,20,30)では
       X=40 となる。


B [頂角Cの二等辺三角形]
  
  点Cを頂角とする
  二等辺三角形で直線DCが
  その対称軸になるときで
  一般に,a=b,b+c+d=90
  のとき、 x=d となる。
  ↓の(20,20,30,40)では
      X=40°  

  C [点Dが垂心]

 AD⊥BC、AB⊥DCであれば、
  点Dは△ABCの垂心で、
 BD⊥ACとなる。一般に、
 a+b+c=90,b+c+d=90
のとき、X=90−c−d となる。
 ↓の(10,50,30,10)では
          X=50 となる。  

 垂心については「垂心」へ (垂心を知らなく
ても…) CDとAB、ADとBCの延長上の交点を
EとFとする。四角形EBFDとAEFCが円に内接す
ることからもわかり、 X=b となる。


 D [点Dが内心]

 b=c,a+b+d=90であれば、
      「定理9」より
  点Dは△ABCの内心で
     X=d となる
  ↓の(20,30,30,40)では
         X=40 となる。
 
E [点Dが外心]
  DB=DCの二等辺三角形DBCと
  AD=DBの二等辺三角形ABDと
  点Dは△ABCの外心となる。
  一般に、a=b,c=d
  のとき、X=90−a−c となる。
  右の(40,40,30,30)では
     X=20 となる。 


一般的な問題


∠BAD=a,∠ABD=b,
  ∠DBC=c,∠DCB=d 
  をみたすとき、∠DCAは?
  それぞれの問題は a≦d として、
  (a,b,c,d)の形で与えています。

  上の「解きやすいほうの問題@〜
  E」にあたる問題はそれぞれ@〜
  Eとし、今回は省略しませんでした
  それぞれの解答は略解を下の表
  に書いています。表の「△番と同様」
  とあるものは 問題(a,b,c,d)を
  △番に適用しますが適用できないと
  きは問題を(d,c,b,a)で適用して
  みてください。

No.
( a ,b ,c ,d )
答え
 一つの解き方

(10,10,10,10)

    70
    Aの二等辺三角形

(10,10,10,20)
    100
 BDについてCの対称点Eをとり、Eは正三角形EDCより△ADCの外心

(10,10,10,30)
    100
 正三角形DBEをC側にとる。Eは△DBCの外心、A,C,Eが同一直線

(10,10,10,70)
    70
    Bの二等辺三角形,Dの点Dが内心

(10,10,20,10)
    30
BC上に∠CDE=10となるEをとると、正三角形ADEより、Eは△ADCの…

(10,10,20,20)
    60
    Eの点Dは外心

(10,10,20,30)
    70
 △DBCをBCで折り返し、D→E、△DECは正三角形、△BDE≡△ADC…

(10,10,20,40)
    70
DC=CEでBCの延長上交点をEをとる。AD=DB=DEよりDは△ABEの外心。4点ADCEは凧型

(10,10,20,60)
    60
    Bの二等辺三角形
10
(10,10,20,100)
    30
 BCの延長上に∠DEC=20 点EをとるとDE=EC=BD=AD、正三角形ADEを得られ、Eは△ADCの外心
11
(10,10,30,10)
    20
△DBCをBCで折り返しD→E、正三角形DBEから、Dは△ABEの外心、∠DAE=∠DCE,より四角形ADECは円に内接する…
12
(10,10,30,20)
    40
正三角形DCEをAとは反対側につくる。△ADC≡△BDEをいう。
13
(10,10,30,30)
    50
    Eの点Dは外心
14
(10,10,30,50)
    50
    Bの二等辺三角形
15
(10,10,30,70)
    40
△BDCをBCで折り返しD→E、Dは△ABEの外心から、A、C、Eが同一直線上であることをいう。
16
(10,10,30,100)
    20
 ∠BCE=40となる点EをAB上にとる。Eは△DCBの外心、正三角形DEC、∠ADC=∠ADE=150、より△ADE≡△ADC
17
(10,10,40,20)
    30
 正三角形ADEを△ADC内に作る。DE‖BC、Dは△ABEの外心、等脚台形DBCEより、∠ECD=∠DBE=20〜Eは△ADCの外心
18
(10,10,40,40)
    40
 Dの点Dは外心 またはBの二等辺三角形
19
(10,10,40,70)
    30
 AD=DB、二等辺三角形DBCをコピペしてADに貼るC→E線対称な四角形ABCEを作ると、△DCEは正三角形、ACを対称軸とする凧型
20
(10,10,50,30)
    30
    Bの二等辺三角形
21
(10,10,50,50)
    30
    Eの点Dは外心
22
(10,10,60,20)
    20
    Bの二等辺三角形
23
(10,10,60,60)
    20
    Eの点Dは外心
24
 (10,10,70,10)
    10
    Bの二等辺三角形
25
(10,10,70,30)
    20
 △DBCをDCで折り返すB→E。正三角形EBCとその対称軸DCから、△ADB≡△EDBから、AB=BC
26
(10,10,70,40)
    20
 BD=DA、二等辺三角形DBCをADにコピペしてC→E、線対称な四角形ABCEを作ると正三角形EDCから、Eは△ADCの外心
27
(10,10,70,70)
    10
    Dの点Dは外心 または@の二等辺三角形
28
(10,10,100,20)
    10
DC上にEをとることで正三角形ABEをつくり、AEとBCの交点をFとする。EB=EAFから、△ADE≡△FEC、
29
(10,10,100,30)
    10
△DBCをDCで折り返しB→E、EDを対称軸とする二等辺三角形EABで、Eは△ABCの外心
30
(10,20,10,30)
    100
正三角形BDEをAでないほうに作ると。Eは△DBCの外心、∠ADB=ADEより△ADB≡ADE、∠DEC=20から、A,C,Eは同一直線上
31
(10,20,20,10)
    60
    Aの二等辺三角形
32
(10,20,20,20)
    80
 点AのBDについての対称点EはBC上にあり、△ADEは正三角形、四角形、ADCEはACを軸とする凧型
33
(10,20,20,30)
    80
 △ABDをABで折り返しD→E、△DBCをBCで折り返しD→F、△AEDは正三角形。∠ADE=∠ADC=80.△ADC≡△ADE
34
(10,20,20,60)
    60
    Cの点Dが内心
35
(10,20,30,10)
    40
 △BDCをBCで折り返しD→E、正三角形DBE、△ADB≡△ADE、二等辺三角形DECと∠DAE=10よりCは△ADEの外心
36
 (10,20,30,20)
    60
 △DBCをBCで折り返すD→E、正三角形DBEより、△ADB≡△ADE、∠BAE=∠BCEから円に内接する四角形ABEC
37
(10,20,30,40)
    60
△DBCをBCで折り返しD→E、DC=CFとなるFをBCの延長上にとる。四角形ABEFが円に内接し四角形ADCFも円に内接する。
38
(10,20,30,70)

    40
△BDCをBCで折り返しD→E、正三角形DBE、∠ADB=∠ADE、△ADB≡△ADE、∠DEC=20から、A、C、Eは同一直線上
39
(10,20,40,10)
    30
  △ABDをBDで折り返しA→E、正三角形ADEと円に内接する四角形DBCEから、Eは△ADCの外心
40
(10,20,40,30)
    50
  △ADBをADで折り返しB→E、正三角形DBEと∠DCB=30よりEは△DBCの外心、∠BAE=∠BCEでABECは円に内接する
41
(10,20,40,70)
    30
△ABDをBDで折り返しA→E、正三角形ADEと凧型EDBCより、AE=DE=EC、Eは△ADCの外心
42
(10,20,50,30)
    40
 △ABDの外心Eをとる。∠EDB=80よりEDCは同一直線上。EBの中点をM、AMとECの交点をF。四角形AFBCは円に内接
43
(10,20,60,10)
    20
      Cの点Dは垂心
44
(10,20,60,20)
    30
 △ABDの外心Eをとる。正三角形AEB、∠EDB=80よりEDCは同一直線上、EB=BCから△ABCは二等辺三角形
45
(10,20,60,40)
    30
 △ADBをADで折り返しB→E、正三角形DBE、BDとAEの交点をFとする∠BFE=40からFDECは円に内接しFBCは正三角形、Fは外心
46
(10,20,60,60)

    20
      @の二等辺三角形
47
(10,20,80,20)
    
20
△ADBの外心をE、△EBD≡△DBC、AB−EB=BC、△ABCは二等辺三角形
48
(10,20,80,30)
    20
△BDCをBCで折り返すD→E、AD=DE=DCでDは△AECの外心
49
(10,20,100,10)
    10
△ADBをBDで折り返しA→E、∠DEB=∠BCD、4点EDBCは円に内接する。四角形ADCEはACを対称軸とする凧型
50
(10,20,100,30)
    10
△DBCをBCで折り返しD→E、∠BED=∠BAD、4点AEBDは円に内接する。AD=DE、Dは△AECの外心
51
(10,30,10,20)
    100
△DBCをDCで折り返しB→E、正三角形EBD、凧型AEBD、四角形AEDCは円に内接する
52
(10,30,20,20)
    80
△ABDをABで折り返しD→E、正三角形EBDと∠ADE=∠ADC=80、より△ADE≡△ADC
53
(10,30,20,40)
    70
BCの延長上にCD=CEとなるEをとると、BD=DE△ABDの外心をF、2辺夾角から、△FDB≡△ADE、凧型ADCEとその対称軸AC
54
(10,30,30,10)
    50
      Aの二等辺三角形
55
 (10,30,30,50)
    50
      Dの点Dが内心
56
(10,30,40,20)
    50
 △ABDをABで折り返しD→E、ADとBCの交点Fで、EBFDは凧型、四点AEFCは円に内接する。
57
(10,30,40,30)
    50
 AD上に∠ECD=30となるEをとると、正三角形EBC、AE=EB、Eは△ABCの外心
58
(10,30,50,10)
    30
      Cの点Dは垂心
59
(10,30,50,20)
    40
△DBCをDCで折り返しB→E、AE=EB、AEに二等辺三角形EBCをコピペすると、正三角形EFCから、Fは△AECの外心
60
(10,30,50,30)
    40
三角形の中に正三角形EBCを作る。DCはその対称軸、∠BED=10、4点ABDEは円に内接する。底角20でAE=EB、Eは△ABCの外心
61
(10、30,50,50)
    50
      @の二等辺三角形
62
(10,30,70,10)
    20
     △ADBをBDで折り返すA→E、∠BED=∠BCDより、4点EDBCは円に内接、AE=EB=EC、Eは△ABCの外心
63
(10,30,70,40)
    20
 △ABDの外心をE、正三角形ADE、2つの二等辺三角形EBD,BDCより四角形EBCDは凧型〜。△ADC≡△EDC
64
(10,30,80,20)
    20
△ADBをBDで折り返しA→E、△AECの外心がD
65
 (10,30,100,10)
    10
 △ABDをBDで折り返しA→E、正三角形、∠DEB=∠DCBで円に内接するから、∠BEC=∠BDC=∠EBC
66
(10,30,100,20)
    10
 △ABDの外心をEとすると、E,B,Cは同一直線上、ED=DC=AD
67
(10,40,20,30)
    70
△DBCをBCで折り返しD→E、AB上にFを△BDF≡△BDEなるようにとると、∠DCF=∠DFC=10。4点AFDCは円に内接する。
68
(10,40,30,20)
    60
 △BDCをBDで折り返しC→E(EはAD上)AE=EBから、Eは△ABCの外心
69
(10,40,40,10)
    40
      Aの二等辺三角形
70
(10,40,40,40)
    40
      @の二等辺三角形
71
(10,40,60,20)
    30
     59番と同様
72
(10,40,70,10)
    20
ADとBC、CDとABの交点をE,F、△FDBの傍心の1つがEになる。∠DEF=∠DBF÷2=20、4点AFECは円に内接
73
(10,40,70,30)
    20
△DBCをBCで折り返しD→E、正三角形DECよりDE=DC、2辺夾角より△ADE≡△ADC
74
 (10,50,30,30)
    50
      @の二等辺三角形
75
(10,50,50,10)
    30
     Aの二等辺三角形
76
(10,50,50,30)
    30
     Dの点Dが内心
77
(10,60,20,20)
    60
     @の二等辺三角形
78
(10,60,60,10)
    20
     Aの二等辺三角形
79
 (10,60,60,20)
    20
     Dの点Dが内心
80
(10,70,30,20)

    40
△BCDをBCで折り返しD→E、CEとABの交点をF。4角形DBFEはDFを軸とする凧型。DF=DC、2辺夾角から△ADF≡△ADC
81
(10,70,40,20)
    30
△ABDをABで折り返しD→E、△AWDをDC(の上)にコピペしてA→F。正三角形ADFができる。Fは△ADCの外心
82
(10,70,70,10)
    10
     Aの二等辺三角形
83
(20,10,10,20)
    60
     Aの二等辺三角形
84
(20,10,10,30)
    70
    33番と同様
85
(20,10,10,40)
    70
△ABDをBDで折り返しA→E、正三角形ADEと、DC=CEから凧型ADCE、∠ACD=∠DCE÷2
86
(20,10,10,60)
    60
      Dの点Dが内心
87
(20,10,10,100)
    30
△ABDをBDで折り返しA→E、AE=ED=EC、Eは△ADCの外心
88
(20,10,20,20)
    80
     8番、39番と同様
89
(20,10,20,30)
    40
    40番と同様
90
(20,10,20,60)
    40
△ADCをDCで折り返すA→E(AB上)、△EBCをBCで折り返すE→F、∠ACF=120.4点ABFCは円に内接、Eは△BFDの外心
91
(20,10,20,80)
    30
    41番と同様
92
(20,10,30,10)
    10
△DBCをBCで折り返しD→E、△ADB≡△ADE、4点ADECは円に内接する。
93
(20,10,30,20)
    20
     35番、53番と同様
94
(20,10,30,40)
    30
    36番、44番と同様
95
(20,10,30,50)
    30
△DBCの外心EをとりAB上に点FをDA=DFにとる。△CDA≡△CDF。4点FBEDとFECDは凧型
96
(20,10,30,80) 
    20
    38番と同様
97
(20,10,30,100)
    10
△DBCの外心EはAB上にあり、正三角形DEC、∠DEA=20、Dは△AECの外心
98
(20,10,40,30)
    20
    42番と同様
99
(20,10,40,60)
    20
△ABDの外心E、BCの延長上にAB=AFをとる。頂角140よりE,D,Fは同一直線上。対角の和からADCFは同一円周上。∠ACD=∠AFD
100
(20,10,60,60)
    10
    Aの二等辺三角形
101
(20,10,70,30)
    10
△ABDをADで折り返すB→E、Eは△DBCの外心。∠DCE=DAEより、4点ADECは円に内接する。
102
(20,10,70,40)
    10
    47番と同様
103
(20,20,10,30)
    80
    7番と同様
104
(20,20,10,60)
    60
    Bの二等辺三角形
105
(20,20,20,20)
    50
    Aの二等辺三角形、Eの点Dは外心
106
(20,20,20,50)
    50
    Bの二等辺三角形
107
(20,20,20,80)
    30
    19番、172番と同様
108
(20,20,30,30)
    40
    Eの点Dは外心
109
(20,20,30,40)
    40
    Bの二等辺三角形
110
(20,20,30,80)
    20
    15番と同様
111
(20,20,40,30)
    30
    Bの二等辺三角形
112
(20,20,40,40)
    30
    Eの点Dは外心
113
(20,20,50,50)
    20
    @の二等辺三角形、Eの点Dは外心
114
(20,20,60,60)
    10
    Eの点Dは外心
115
(20,20,80,20)
    10
    26番、70番と同様
116
(20,20,80,30)
    20
    25番、73番と同様
117
(20,30,10,40)
    70
△ABDをBDで折り返しA→E。ACとBDは正三角形の対称、その交点をFは正三角形の中心。∠FEC=∠DAF=10
118
(20,30,20,60)
    40
BD間にEをDC=DEでとり、BE=EC。2辺夾角から△ADE≡ADC。△ABEをABで折り返しE→F、△AEF≡AEC。∠FAC=2∠BAD
119
(20,30,30,20)
    40
    Aの二等辺三角形
120
(20,30,30,40)
    40
    Dの点Dが内心
121
(20,30,40,20)
    30
    Cの点Dは垂心
122
(20,30,40,40)

    30
    @の二等辺三角形
123
(20,30,40,60)
    20
△ADCをADで折り返しC→E。2辺夾角で△ADC≡△ADE、△AECをABで折り返しE→F。4点FBEDは円に内接。△AFE≡△AEC、∠FAC=40
124
(20,30,70,40)
    10
    64番と同様
125
(20,30,80,20)
    10
    62番、63番と同様
126
(20,40,10,30)
    70
△BDCの外心EはAD上にある。AB間に∠ADF=20となるFをとると、AF=FD=DE=EC、2辺夾角より△FAE≡△CEA
127
(20,40,30,20)
    40
    Cの点Dは垂心
128
(20,40,30,30)
    40
    @の二等辺三角形
129
(20,40,30,50)
    30
△DBCをBCで折り返しD→E、BDとECの交点F。4点ABEFは円に内接しAF=FD=FCからFは△ADCの外心
130
(20,40,40,20)
    30
    Aの二等辺三角形
131
(20,40,40,30)
    30
    Dの点Dが内心
132
(20,40,70,30)
    10
    48番と同様
133
(20,50,30,40)
    30
    68番と同様
134
(20,50,50,20)
    20
    Aの二等辺三角形
135
(20,60,10,20)
    60
    Cの点Dは垂心
136
(20,60,20、30)
    40
    57番と同様
137
(20,60,40、30)
    20
    60番と同様
138
(20,60,60,20)
    10
    Aの二等辺三角形
139
(30,10,10,30)
    50
    Aの二等辺三角形
140
(30,10,10,50)
    50
    Dの点Dが内心
141
(30,10,10,70)
    40
△ABDをBDで折り返しA→E、△DCEをDEで折り返しC→F、DFは△ADEの対称軸、Fは△ACEの外心
142
(30,10,10,100)
    20
△ABDをABで折り返しD→E、∠ADC=150の2辺夾角より△ADC≡△EDC。対角の和から、4点EBCDは円に内接する。
143
(30,10,20,40)
    30
△ADBの外心E.BDとEAの交点Fとし、∠DAE=20より4点EBCFは円に内接するので、ACを軸とする凧型ADCFとわかる
144
(30,10,20,50)
    30
BD間にDA=DEとなるEをとり、正三角形AEFを外に作る。∠FAB=50より4点AFBCは円に内接する。
145
(30,10,20,80)
    20
△ABDをABで折り返し、D→E。△BDE≡△BDC。AD=DE=DC
146
(30,10,20,100)
    10
△ABDをABで折り返しD→E、△EBDをBDで折り返し、E→F、DC=DF=ED=AD
147
(30,10,30,40)
    20
DB間にAD=DEのEをとり、2辺夾角から、△ADC≡△EDC。△BECをBCで折り返しE→F。△ACE≡△ECF、∠ACF=40×2、∠ACE=40
148
(30,10,30,50)
    20
△ADBをADで折り返しB→E、正三角形と∠DBE=∠DCBより、4点DBECは円に内接する。BC=BE=AB
149
(30,10,40,70)
    10
△ABDの外心Eとする。BC=BD=BE、∠ABE=50、△EBA≡△CBA
150
(30,10,50,30)
    10
    Cの点Dは垂心
151
(30,10,50,50)
    10
    @の二等辺三角形
152
(30,2.0,10,40)
    60
△BDCをBDで折り返すC→E(AD上)、△AEBをABで折り返しE→F△BEC≡△BEF、FE=AE=EC
153
(30,20,20,30)
    40
    Aの二等辺三角形
154
(30,20,10,70)
    40
Cを内部に正三角形ABEを作る。AD,BCは対称軸より、∠ABD=∠AEC=20、D,C,Eは同一直線上
155
(30,20,20,40)
    40
    Dの点Dが内心
156
(30,20,20,80)
    20
    149番と同様
157
(30,20,40,40)
    20
    @の二等辺三角形
158
(30,20,40,70)
    10
    145番と同様
159
(30,20,60,40)
    10
    148番と同様
160
(30,30,10,50)
    50
    Bの二等辺三角形
161
(30,30,30,30)
    30
    正三角形
162
(30,30,40,40)
    20
    Eの点Dは外心
163
(30,30,50,50)
    10
    Eの点Dは外心
164
(30,40,20,30)
    40
    Cの点Dは垂心
165
(30,40,20,50)
    30
    152番と同様
166
(30,40,30,50)
    20
△BDCの外心E、ADBCの交点F、∠BAD+∠FEB=180で4点ABEFは円に内接。∠EAD=10.△ADE≡△ADC
167
(30,40,40,30)
    20
    Aの二等辺三角形
168
(30,50,20,40)
    30
△ADBの外心E。ADとBCの交点をF。△ADFの外心はB、∠EAD=∠DCFより4点AEFCは円に内接する。
169
(30,50,30,40)
    20
CDとABの交点をE、△EBCの外心F(BD上)、EFとADの交点をGとする。Gは頂角20から、△FDCの外心。4点AEGCは円に内接する。
170
(30,50,50,30)
    10
    Aの二等辺三角形
171
(40,10,10,40)
    40
    Aの二等辺三角形
172
(40,10,10,70)
    30
ADとBCの交点F、DB上の点Fは∠BAF=∠FADの時Fは△ABEの内心∠DEF=60、△DEF≡△DEC、凧型DFEC
173
(40,10,20,60)
    20
    144番と同様
174
(40,10,30,70)
    10
△DBCの外心E、△DBC≡△ADE、∠BED+∠BAD=180から、4点ABEDは円に内接する。∠AED=10
175
(40,10,40,40)
    10
    @の二等辺三角形
176
(40,20,10,70)
    30
△DBCの外心E。4角形ABEDは等脚台形。△DECをDCで折り返しE→F。△ADFは正三角形。△ADCの外心はF
177
(40,20,20,40)
    30
    Aの二等辺三角形
178
(40,20,30,30)
    20
    @の二等辺三角形
179
(40,20,30,40)
    20
    Cの点Dは垂心
180
(40,20,30,70)
    10
CDとADの交点をE、正三角形FBCをBCの上に作る。凧型FBCDと4点FBCEは円に内接する。△EDF≡△EDA、△DFC≡△DAC
181
(40,30,20,60)
    10
    166番と同様
182
(40,40,40,40)
    10
    Aの二等辺三角形
183
(50,10,10,50)
    30
    Aの二等辺三角形
184
(50,10,30,50)
    10
    Cの点Dは垂心
185
(50,20,20,50)
    20
    Aの二等辺三角形、Cの点Dは垂心
186
(50,30,30,50)
    10
    Aの二等辺三角形
187
(60,10,10,60) 
    20
    Aの二等辺三角形
188
(60,10,20,60)
    10
    Cの点Dは垂心
189
(60,20,20,60)
    10
    Aの二等辺三角形
190
(70,10,10,70)
    10
    Aの二等辺三角形、Cの点Dは垂心