垂心について
 三角形の3つの頂点から各対辺に垂線を引くと1点で交わる。これを垂心といいます。「垂心」自身は高校で習います。
 


 垂心が一点で交わる証明
 下の証明のように、2つの頂点から垂線を引き、その交点

と三角形の3っ目の交点を結ぶ直線が三角形の辺に垂直

であればよい…これを、4つの点が同一円周上であること

を用いて証明します。垂心が1点で交わる証明は高校で習

うベクトルを使う方法もあります(←証明はこちら
 
 {証明}
鋭角三角形ABCの頂点B、Cから各辺に
垂線BQ,CPを引き、その交点をHとする。
∠QRC=αとして、△QRCにおいて
 ∠QCR + α =90°
 ∠BPC=∠BQC より
 P,B,C,Qは同一円周上にあるから
 ∠QPC=∠QBC=α
   ∠APC+∠AQB=180°より
 A,P,R,Qは同一円周上にあるから
   ∠QPC=QAH=α
 △ARCにおいて
  ∠QCR + α =90°から
  ∠ARC=90°
  

    

上の証明では
  ∠QBR=∠QPH=∠QAH の利用でした。
それ以外にも
  ∠PBC=∠AQP=∠AHP=∠CHR
  もアリか

 鈍角三角形ABCのとき

    


 Hが垂心となりますが、証明の中身は同様

 直角三角形ABCのときは直角の頂点が垂心


 
以上のことから、次のような角度の問題が考えられます。

 問題 1 下の図のXの角度を求めなさい。


     

   AD⊥BC、CD⊥AB,がわかるので点Dは…
                    答え X=20°


  
 問題 2 下の図のXの角度を求めなさい


    


    前門と同じ図なので、答えは X=40ですが、前門と同様というわけでありませんが〜ウルサイ問題でもない