定理６、整角三角形の解答９〜
 
定理６
△ＡＢＣは正三角形でない、
AB＝ACの二等辺三角形で、
その内部の点Pが、
ACの垂直二等分線上にある。
　すなわち、AM＝MC、AC⊥PM
かつ、∠ABP＝頂角BACの半分を
満たすならば、
APは頂角BACの二等分線上にある。
 
証明
 頂角BAC＝２ａ　、
ACとABの中点をMとNとし、
ACとABの垂直二等分線の
　　交点をRとする。
その対称性により、
△RABは底角ａの二等辺三角形
よって、点Rと点Pは一致するので、
AR（P）は頂角の二等分線上にある。

【問題９】　（１０，１０，３０，７０）
Dより辺AB,BC、CAに垂線を
下ろして、P、Q、R、とし、
DCの中点をMとする。
四角形APDRは円に内接するので
　　　∠DAC＝∠DPR
△DPB≡△DQBより、DP＝DQ
△DQCは３０をもつ直角三角形、
DQ＝QM＝DM＝MC
直角三角形DRCも同様に
　　　　DM＝MR
∠PDM＝∠DMR＝１４０から、
四角形PDMRは等脚台形で
∠DPR＝１８０−１４０＝４０


　　　　　　　　　　　答え　X＝４０°

【問題１３】　（１０，１０，７０，３０）
CDの延長上に　∠AEC＝１０となる
　点Eをとると、四角形EBDAは円に
内接するので　　∠BAD＝∠BED
図のように正三角形AEFを作ると、
　　∠ACE＝３０　より、
点Fは△ACEの外心
∠AFC＝２∠AEC＝２０
∠FAB＝２０＝∠ABCから、
　　　　　AF〃BC
ABとFCの交点をGとすると、
△GBC　は二等辺三角形から、
四角形FBCAは等脚台形で、
FB＝AC、△EFB≡△EAC　より、
EB＝EC、∠BEC＝４０＝∠BAD
　よって、∠DAC＝２０

　　　　　　　　　　答え　X＝２０°

【問題１４】（１０，１０，７０，４０）
BDの延長上に∠BAE＝６０となる点Eをとる。
∠EAC＝∠EBCから、∠ECA＝１０
で、EA＝EC、DE＝DCまた、∠AEF＝６０となる
点Fをとると、正三角形AFEから、∠FED＝５０
FE＝ECで△FDE≡△EDC　DE＝DF
四角形AFDEはタコ型で、
DAはその対称軸　∠FAD＝３０　∠DAC＝２０

　　　　　　答え　X＝２０°

【問題２６】（１０，２０，４０，７０）
Dより各辺に垂線を下ろして、P、Q、Rとすると、
四角形APDRと、DQCR、ABQDは円に内接して、
∠PAD＝∠PRD、∠DQR＝∠DCR＝７０
∠DRQ＝∠DCQ＝４０から、　　DR＝QR
直角三角形DPB、DQBの斜辺の中点Mとすると、
PM＝MD＝MQ＝BM∠DMQ=DRQ＝４０より、
　　　　△DMQ≡△DRQ
∠PMQ＝６０　より正三角形PMQとわかる。
よって、QP＝QRの二等辺三角形QPR
∠PQR＝８０、∠PRQ＝５０
∠PRD＝１０＝∠PAD　∠DAR＝３０

　　　　　　　　　答え　X＝３０°

【問題３２】（１０，２０，１００，１０）
BCの延長上に∠DEB＝２０　を満たす点Eを、
BAの延長上に∠DFA＝１０を満たす点Fをとると
、BD＝DE＝DFで、∠FDE＝６０より、正三角形DFE
DE＝CEから、点Eは△DCFの外心
∠DFC＝∠DEC／２＝１０、∠DCA＝∠AFD＝１０　
四角形ADCFは円に内接よって、
　　∠DAC＝∠DFC＝１０

　　　　　　　　　　　答え　X＝１０°

【問題５９】（２０，１０，２０，８０）
△DBCをDCで折り返して、B→Eとすると、
△EBDは正三角形。また、EC上に∠CBF＝４０と
なる点Fをとると、FB＝FCで、∠BFC＝２∠BACより
点Fは△ABCの外心になる。　△AFCは正三角形
BFは正三角形EBDの対称軸より、FE＝FD
∠DFC＝∠DCF＝２０より、DF＝DC　よって、
四角形AFDCはタコ型で、DAはその対称軸より
　∠DAC＝３０

　　　　　　　　　　　　答え　X＝３０°

【問題６３】（２０，１０，３０．８０）
DよりBCに垂線DFをおろし、頂角２０の
二等辺三角形BDEを作り、DEの中点をMとする。
△BDM≡△BDF　より、ED＝２DF　また、
直角三角形DFCは　３０°をもつので、
DC＝２DF、DE＝DCから、　∠EDC＝１４０、
∠DEC＝２０　、∠EDC＋∠EAC＝１８０
よって、四角形AEDCは円に内接する。
　∠DAC＝∠DEC＝２０

　　　　　　　　　答え　X＝２０°

【問題７９】（２０，４０，１０，３０）
BDとACの交点をEとすると、　BA＝BE＝EC
BDを底辺とする頂角２０の合同な二等辺三角形
BDFとBDGを作ると、∠DCB＝１０より、
点Fは△BDCの外心から、
頂角１００の二等辺三角形BFCで、
△BEC≡△BFC、BG＝BA　と
∠GBA=６０　より　正三角形GBAから、
点Gは△ABDの外心になる。
　∠BAD＝∠BGD／２＝１０　

　　　　　　　　　　　答え　X＝７０°

【問題８４】（２０，６０，４０，３０）
△ABCの外心をEとすると、△EBCは
　　　正三角形で、EDBは同一直線。
∠EAC＝１０、∠EAB＝２０。
　　また、CDとABの交点をF、
　　　　　AEとBCの交点をGとする。
△ABGは頂角２０の二等辺三角形
∠BFC＝∠BEC＝６０　から、
四角形FBCEは円に内接するので、
∠EFD＝６０＝∠BFD、∠FEB＝４０＝∠BEG
これから、点Dは△AFEの傍心
よって、∠FAD＝∠DAE＝１０
　　　　　∠DAC＝２０

　　　　　　　　　　　　答え　X＝２０°

【問題８５】（３０，１０，１０，７０）
BD＝DCで、BDとDCを底辺として、
頂角４０の合同な二等辺三角形BDE
とDCPを作る。ここで、点PはAC上にあり
DE＝DP、∠EDP＝３６０−７０−７０−１６０
　　　　＝６０から
△DEPは正三角形になる。
△EBPは頂角１００の二等辺三角形から、
∠EBP＝４０で∠PBD＝３０
よって、点Pは点Aと一致する。
∠DAC＝４０

　　　　　　　　　　　　　答え　X＝４０°

【問題９２】（３０，１０，３０，５０）
BDとACの交点をHとすると、AC⊥BDで、
△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。
△ADBをABで折り返し、D→Fとすると、
正三角形FBDと、∠BED＝３０より、
　点Fは△EBDの外心になる。
ＦEと、BHの交点をGとすると。
∠GEH＝５０で、△EDH≡△EGH
∠EGH＝４０、AHは二等辺三角形EDH
の対称軸から、△ADHをACで折り
返したものが、△AGHである。
∠FAG＝２∠BAC＝１２０と
∠FBD＝６０から、四角形FBGAは
円に内接する。
∠BAD＝∠FAB=∠FGB＝４０

　　　　　　　　　　答え　X＝２０°

　…というナガーイ証明でした。
　　　　　　フーッ　(・・；)ゞ
　…折り返しで１２０°を作るのは
　　　おもしろいと思っています。
　　　　　　　　　　(*^.^*)
 ここでのナガーイ証明はあることに気づいていれば本当はもっと短いものですんだかもしれない…そんなことはよくあることで、ちょうど真夜中のラブレターと同じで翌日の朝にそれを読むと、なんであんなこと書いたんだろう。あまりにも恥ずかしさから即ごみ捨て…カモ最近はそれを再度、読むエネルギーすらない