二等辺三角形　の難問
 シュタイナー・レームスの定理
　　△ＡＢＣの∠Ｂ、∠Ｃの
　角の二等分線とＡＣ、ＡＢの交点を
　それぞれ、Ｄ，Ｅとする。
　ＢＤ＝ＣＥならば、

　　　ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。
 
（Steiner-Lehmus theorem)
上の問題はシュタイナー・レームスの定理と呼ばれる
問題です。リンデンがこの問題をはじめてみたのは
栗田稔先生著「大学への数学　問題はどう作られる
のか」（東京出版）からでした。
下記の証明↓はそこに載っていたものです。　
 【証明】
　△ＡＢＣにおいて、
　∠Ｂ＜∠Ｃ　ならばEC＜BDを証明する。

　∠Ｂ＜∠Ｃ　とすると
　∠Ｂ／２＜∠ＥＣＡ
　図のようにＢＤ上の∠ＤＣＥの内部に
　∠Ｂ／２＝∠ＥＣＦとなる点Ｆをとると、
　４点E,B,C,Fは同一円周上にあり
　　∠BCF=（∠B+∠C）／２＜９０°
　　∠CBE＜∠BCF＜９０°
　鋭角の円周角であれば、円周角が
　小さければ、それに対する
　　弦の長さも小さくなるので、
　　EC＜BF　よって、EC＜BD　　…　①

　∠Ｂ＞∠Ｃ　とすると、同様に
　　　　EC＞BDが成り立ち　　　　…　②

　∠Ｂ＝∠Ｃ　とすると、明らかに
　　　二等辺三角形ABCから、
　　　　　　　　　　　　　　EC=BD　　…　③

　　①、②、③から、転換法により③の逆の
　　EC＝BDならば、∠Ｂ＝∠Ｃが成立
 
　【転換法】
　　　　命題　A1→A2、B1→B2、C1→C2
　　　…が成り立ち仮定のA1,B1,C1…が
　　　すべての場合をつくしていて
　　　結論のA2,B2,C2…はどの2つも
　　　両立することはない。　このとき、
　　　逆の命題A2→A1、B2→B1,C2→C1
　　　…はすべて成り立つ。
 　シュタイナー・レームスの定理を
直接しようとすると、下↓の補題を証明して、
角の二等分比や、等式の関係で
ガンガンやっていけばよい。
（上の図で、EC＝BDを、
　　　　EC＾２＝BD＾２として使う…）
～とまあ、解析的に解くわけですが…　
　証明略
（↑こういうのをうちの田舎では、
「ひゅーなし」といいますが…）
 【補題】

　↓の△ABCの線分ADは∠Aの二等分線
　　のとき、
　　AD＾２＝AB×ACーBD×DC
　　　　　　　　が成り立つ
　
　この証明は
　　その１　余弦定理を用いる。
　　その２　△ABCの外接円を書きADを延長し、
　　　　　　　円に内接する四角形で考える。
 
　　上の補題の結果は知っておくと高校生の模試あたりで１つのツールなると思います。高校では、∠BACが有名角で、面積を用いて、ADの長さを知ることが多いのですが、ADの値がストレートに出てきます。ADを「チェバ線」という表現もあります。この続きや別解を知りたい方は↓のサイトを訪問してください。
 【私的数学塾】Ｓ．Ｈ's Homepage for mathematics
　＞「私の備忘録」
　＞幾何学分野＞「Steiner-Lehmusの定理」
 　数学の部屋＞「図形問題シリーズ」
　＞『二等辺三角形？』にあります。
　 水の流れ＞「流れ星」
　＞No.177（左フレームの過去問）にあります。
 上記の栗田稔先生著「大学への数学　問題はどう作られるのか」定価1800円（東京出版）は2008年11月にヤフオクでの落札金額が13100円でした。アマゾンでの中古本が2万円台学習参考書なのにドーシテ？あと山本矩一郎先生のヨヨヨギライブラリーの尻もミョーニ高杉。秋山仁先生の駿台文庫の尻も高杉。管理人もそれぞれの尻は何冊かは持っていますが、そりゃーうれしいけどどうかしている。モノグラフみたいに復刻本がでてきて、値段が下がったらいいのに…ｒｏｕｄａｉ氏（参考書博物館の館長さん→リンクのページ）の情報から学習参考書専門の古本屋　を教えていただきました。
　　　　　　　　　http://www.bookbank.jp/gakusan/post_2.html