「補助線の練習その2」正五角形と正三角形で

[例題1]

    四角形ABCDにおいて、
    ∠ABD=12°
    ∠DBC=36°
    ∠ACB=66°
    ∠ACD=42° として
    ∠ADBを求めなさい。


   他の角度を調べると、AB=BC=CD、∠BCD=108°等から、正5角形の中の1部分と推理して、
   答えは「天下り談合方式」で書いています。要するに、答えはすでに決まっていて問題の図は答えの
   図に一致するんだけど〜みたいなこと(一致とは相似のこと)。
 

[例題1の答え]

    
  正三角形ABEを作る。
  DC=BC=BA=AE=BE
  ∠EBC=∠BCD=108
  ∠BEC=∠BDC=36、から
  4点EBCDは円に内接する。
 、∠EDB=∠ECB=36
  △EDBは頂角36の二等辺
  三角形でADはその
  対称軸から。
   ∠ADB=36÷2
       =18   

           答え X=18°

  この↑問題は東京出版のHPの数算王神社の中にありました。


正五角形と正三角形を組み合わせると解決する問題


 それぞれの問題は形は違いますが正五角形のどこにある?
〜という問題です。角度に特徴があって、登場する角度は
6の倍数で、6°や72°などよく出てくる角度があります。

    [問題1]

  四角形ABCDにおいて、
  ∠ACB=96
  ∠ACD=72
  ∠BDC=6
  ∠ADB=66
  のとき、∠BACを求めなさい。
 正五角形に頂角168の二等辺三角形を作るには…
    [問題2]
 
 四角形ABCDにおいて
 ∠ABD=30
 ∠DBC=6
 ∠ACB=72
 ∠ACD=96
 のとき∠ADBを求めなさい。


    [問題3]

  三角形ABC
   とその内部の点Dは
  ∠ABD=6、∠DBC=66
  ∠DCB=48、∠ACD=24
  を満たすとき、
  ∠DACを求めなさい。



    「問題1」と「問題3」は第4回広中杯と条件は
    違いますが、同じ問題。第4回広中杯はここ
    この広中杯の問題も含めて、このような問題を
    イキナリ見て、正五角形が思いつくかどうか、
     ウ 〜 ン というところ。
  


    [問題4]

  四角形ABCDにおいて、
  ∠BCA=30、∠ACD=66
  ∠BDC=12、∠ADB=54
  を満たすとき、 
  ∠BACを求めなさい。



  あのとがった角度は6°だろう〜
  それで、正解!
   [問題5]

   △ABCにおいて、点Dは
   ∠ABD=18
   ∠DBC=36
   ∠DCB=36
   ∠ACD=6
   を満たすとき。
   ∠DABを求めなさい。


[問題6]

  四角形ABCDにおいて、
  ∠DBC=12、∠BDC=18
  ∠ADB=24、 AD=BC
  を満たすとき、
  ∠ABDを求めなさい。


  以前、日テレで「世界ジュニア頭脳93」
  という番組があって、ここに出てきた問題
  (少し条件を変えています)。外国の子供
  がある問題が解けなくて、涙をながしてい
  たのを覚えています。この[問題6」は
  「問題3」と同じ雰囲気